Основы мат. анализа Примеры

$1 + \frac{3 y}{1 - y} > 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Этап 2

Упростим $1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Этап 2.1.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} > 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} > 0$

Этап 2.1.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2 (1 - y)}{1 - y} > 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 (1 - y)}{- y + 1} > 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 \cdot 1 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Этап 2.4

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- y + 3 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Этап 2.5

Добавим $- y$ и $3 y$ .

$\frac{2 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Этап 2.6

Добавим $2 y$ и $2 y$ .

$\frac{4 y - 1}{- y + 1} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y) + 1} > 0$

Этап 2.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y) - 1 (- 1)} > 0$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y - 1)} > 0$

Этап 2.10

Перепишем $- (y - 1)$ в виде $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- 1 (y - 1)} > 0$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 y - 1}{y - 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$4 y - 1 = 0$

$y - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 y = 1$

Этап 5

Разделим каждый член $4 y = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 y = 1$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$y = \frac{1}{4}$

$y = 1$

Этап 8

Объединим решения.

$y = \frac{1}{4}, 1$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{4 y - 1}{y - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 y - 1}{y - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$y < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < y < 1$

$y > 1$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $y < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $y < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $y$ на $0$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{3 (0)}{1 - (0)} > 2$

Этап 11.1.3

Левая часть $1$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{4} < y < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{4} < y < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 0.62$

Этап 11.2.2

Заменим $y$ на $0.62$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{3 (0.62)}{1 - (0.62)} > 2$

Этап 11.2.3

Левая часть $5.89473684$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $y > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $y > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $y$ на $4$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{3 (4)}{1 - (4)} > 2$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 3$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$y < \frac{1}{4}$ Ложь

$\frac{1}{4} < y < 1$ Истина

$y > 1$ Ложь

$y < \frac{1}{4}$ Ложь

$\frac{1}{4} < y < 1$ Истина

$y > 1$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{4} < y < 1$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{4} < y < 1$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{4}, 1)$

Этап 14