Основы мат. анализа Примеры

$5 > \sqrt{2 y + 7}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{2 y + 7} < 5$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{2 y + 7}}^{2} < 5^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 y + 7}$ в виде ${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 5^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y + 7)}^{1} < 5^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 y + 7 < 5^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$2 y + 7 < 25$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $7$ из обеих частей неравенства.

$2 y < 25 - 7$

Этап 4.1.2

Вычтем $7$ из $25$ .

$2 y < 18$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 y < 18$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 y < 18$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y < \frac{18}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $18$ на $2$ .

$y < 9$

Этап 5

Найдем область определения $5 - \sqrt{2 y + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 y + 7}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 y + 7 \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей неравенства.

$2 y \geq - 7$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 y \geq - 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 y \geq - 7$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y \geq \frac{- 7}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y \geq - \frac{7}{2}$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{7}{2}, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$y < - \frac{7}{2}$

$- \frac{7}{2} < y < 9$

$y > 9$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $y < - \frac{7}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $y < - \frac{7}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 6$

Этап 7.1.2

Заменим $y$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$5 > \sqrt{2 (- 6) + 7}$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- \frac{7}{2} < y < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{7}{2} < y < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 0$

Этап 7.2.2

Заменим $y$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 > \sqrt{2 (0) + 7}$

Этап 7.2.3

Левая часть $5$ больше правой части $2.64575131$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $y > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $y > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 12$

Этап 7.3.2

Заменим $y$ на $12$ в исходном неравенстве.

$5 > \sqrt{2 (12) + 7}$

Этап 7.3.3

Левая часть $5$ не больше правой части $5.56776436$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$y < - \frac{7}{2}$ Ложь

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Истина

$y > 9$ Ложь

$y < - \frac{7}{2}$ Ложь

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Истина

$y > 9$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Интервальное представление:

$(- \frac{7}{2}, 9)$

Этап 10