Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - x - 10}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - x - 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{12 - 2 - 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $12$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2.6.3

Вычтем $10$ из $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - x - 10}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.6

Добавим $6 x - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{6 x - 1}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 6 x - 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 6 x - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{12 - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{12 - 1}{2}$

Этап 4.1.3

Вычтем $1$ из $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{11}{2}$ .

$\frac{11}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{11}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{11}{4}$

Десятичная форма:

$2.75$