Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt[3]{x^{8} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{8} y^{2}$ в виде ${(x^{2})}^{3} (x^{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $x^{6}$ за скобки.

$\frac{\sqrt[3]{x^{6} x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Этап 1.1.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} (x^{2} y^{2})}}{\sqrt{x y}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Этап 2

Умножим $\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$ на $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x y}}$ на $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}}$

Этап 3.1.2

Возведем $\sqrt{x y}$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}}$

Этап 3.1.3

Возведем $\sqrt{x y}$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}}$

Этап 3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}}$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$

Этап 3.1.6

Перепишем ${\sqrt{x y}}^{2}$ в виде $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}}$

Этап 3.1.6.5

Упростим.

$\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{x y}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}$ .

$\frac{x (x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y})}{x y}$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{x (x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y})}{x (y)}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y})}{x y}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x \sqrt[3]{x^{2} y^{2}} \sqrt{x y}}{y}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x ({(x y)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}})}{y}$

Этап 4.1.2

Перепишем ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(x y)}^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{x ({(x y)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}})}{y}$

Этап 4.1.3

Перепишем ${(x y)}^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(x y)}^{3}}$ .

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} \sqrt[3]{x^{2} y^{2}})}{y}$

Этап 4.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2} y^{2}}$ в виде ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} {(x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}})}{y}$

Этап 4.1.5

Перепишем ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ в виде ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} {(x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}})}{y}$

Этап 4.1.6

Перепишем ${(x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(x^{2} y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{x (\sqrt[6]{{(x y)}^{3}} \sqrt[6]{{(x^{2} y^{2})}^{2}})}{y}$

Этап 4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{x \sqrt[6]{{(x y)}^{3} {(x^{2} y^{2})}^{2}}}{y}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $x y$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} {(x^{2} y^{2})}^{2}}}{y}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} {(x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2}}}{y}$

Этап 4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{2 \cdot 2} {(y^{2})}^{2}}}{y}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{4} {(y^{2})}^{2}}}{y}$

Этап 4.6

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{4} y^{2 \cdot 2}}}{y}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{3} y^{3} x^{4} y^{4}}}{y}$

Этап 4.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4} x^{3} y^{3} y^{4}}}{y}$

Этап 4.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{4 + 3} y^{3} y^{4}}}{y}$

Этап 4.7.1.3

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} y^{3} y^{4}}}{y}$

Этап 4.7.2

Умножим $y^{3}$ на $y^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Перенесем $y^{4}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} (y^{4} y^{3})}}{y}$

Этап 4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} y^{4 + 3}}}{y}$

Этап 4.7.2.3

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{7} y^{7}}}{y}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $x^{7} y^{7}$ в виде ${(x y)}^{6} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем $x^{6}$ за скобки.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{6} x y^{7}}}{y}$

Этап 5.1.2

Вынесем $y^{6}$ за скобки.

$\frac{x \sqrt[6]{x^{6} x (y^{6} y)}}{y}$

Этап 5.1.3

Перенесем $x$ .

$\frac{x \sqrt[6]{x^{6} y^{6} x y}}{y}$

Этап 5.1.4

Перепишем $x^{6} y^{6}$ в виде ${(x y)}^{6}$ .

$\frac{x \sqrt[6]{{(x y)}^{6} x y}}{y}$

Этап 5.1.5

Добавим круглые скобки.

$\frac{x \sqrt[6]{{(x y)}^{6} (x y)}}{y}$

Этап 5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{x \cdot x y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Этап 5.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Этап 5.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Этап 5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 1} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Этап 6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y \sqrt[6]{x y}}{y}$

Этап 6.2

Разделим $x^{2} \sqrt[6]{x y}$ на $1$ .

$x^{2} \sqrt[6]{x y}$