Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{x}} + 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}$

Этап 1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Этап 1.4.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}}$

Этап 1.4.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}}$

Этап 1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}}$

Этап 1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Этап 1.4.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{x^{1}}}$

Этап 1.4.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\frac{(2 + \sqrt{x}) \sqrt{x}}{x}}$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}{x}}$

Этап 1.6

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}{x}}$

Этап 1.6.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}{x}}$

Этап 1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}}{x}}$

Этап 1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}}{x}}$

Этап 1.7

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x}}$

Этап 1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x}}$

Этап 1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}{x}}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}{x}}$

Этап 1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + x^{1}}{x}}$

Этап 1.7.5

Упростим.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x} + x}{x}}$

Этап 1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + x}{x}}$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x}{x}}$

Этап 1.8.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{1}}{x}}$

Этап 1.8.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Этап 1.8.2.4

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + x^{\frac{1}{2}})}{x}}$

Этап 1.9

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{\frac{2 + x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}}$

Этап 1.10

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{2 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}}$

Этап 1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{2 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{1 - \frac{1}{2}}}}$

Этап 1.10.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{2 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}}$

Этап 1.10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{2 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 - 1}{2}}}}$

Этап 1.10.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{\frac{2 + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Умножим $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x^{\frac{1}{2}}}$