Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{x + 3}{4 x^{2} - 9}}{\frac{x^{2} + 7 x + 12}{2 x^{2} + 7 x - 15}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{x + 3}{{(2 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x + 3}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 3.1.2

Запишем $7$ как $- 3$ плюс $10$

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 4)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 4)}$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x + 4}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x - 3$ из $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{1}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x + 4}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x + 4}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 x + 3} \cdot \frac{x + 5}{x + 4}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{1}{2 x + 3}$ на $\frac{x + 5}{x + 4}$ .

$\frac{x + 5}{(2 x + 3) (x + 4)}$