Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{32 x^{7} y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $32 x^{7} y^{5}$ в виде ${(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot (2 x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2) x^{7} y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 x^{7} y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.3

Вынесем $x^{6}$ за скобки.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 (x^{6} x) y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.4

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2} x) y^{5}}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.5

Вынесем $y^{4}$ за скобки.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2} x) (y^{4} y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.6

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2} x) ({(y^{2})}^{2} y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.7

Перенесем $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2 ({(x^{3})}^{2}) {(y^{2})}^{2} x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.8

Перенесем $2$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} ({(x^{3})}^{2}) {(y^{2})}^{2} \cdot 2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.9

Перепишем $(4^{2} ({(x^{3})}^{2})) {(y^{2})}^{2}$ в виде ${(4 x^{3} y^{2})}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{{(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot 2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.10

Добавим круглые скобки.

$\frac{\sqrt{{(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot 2 (x y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.1.11

Добавим круглые скобки.

$\frac{\sqrt{{(4 x^{3} y^{2})}^{2} \cdot (2 x y)}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$

Этап 2

Умножим $\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y}}{\sqrt[3]{2 x y}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{\sqrt[3]{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt[3]{2 x y}$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{1} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x y}}^{3}}$

Этап 3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2 x y}}^{3}$ в виде $2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 x y}$ в виде ${(2 x y)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{({(2 x y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{{(2 x y)}^{1}}$

Этап 3.5.5

Упростим.

$\frac{4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{2 x y}$

Этап 4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{2 x y}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$\frac{2 (2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{2 (x y)}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{2 (x y)}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{x y}$

Этап 5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{x y}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{x (2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{x (y)}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{x y}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{y}$

Этап 6

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x^{2} y^{2} \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ .

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y^{1}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2})}{y \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}}{1}$

Этап 6.2.5

Разделим $2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ на $1$ .

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} {\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$

Этап 7

Перепишем ${\sqrt[3]{2 x y}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(2 x y)}^{2}}$ .

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{{(2 x y)}^{2}}$

Этап 8

Применим правило умножения к $2 x y$ .

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{{(2 x)}^{2} y^{2}}$

Этап 9

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{2^{2} x^{2} y^{2}}$

Этап 10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{4 x^{2} y^{2}}$

Этап 11

Умножим $2 x^{2} y \sqrt{2 x y} \sqrt[3]{4 x^{2} y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 x^{2} y^{2}}$ в виде ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{2} y ({(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}} \sqrt{2 x y})$

Этап 11.1.2

Перепишем ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ в виде ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ .

$2 x^{2} y ({(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}} \sqrt{2 x y})$

Этап 11.1.3

Перепишем ${(4 x^{2} y^{2})}^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}}$ .

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} \sqrt{2 x y})$

Этап 11.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x y}$ в виде ${(2 x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} {(2 x y)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.1.5

Перепишем ${(2 x y)}^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(2 x y)}^{\frac{3}{6}}$ .

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} {(2 x y)}^{\frac{3}{6}})$

Этап 11.1.6

Перепишем ${(2 x y)}^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(2 x y)}^{3}}$ .

$2 x^{2} y (\sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2}} \sqrt[6]{{(2 x y)}^{3}})$

Этап 11.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(4 x^{2} y^{2})}^{2} {(2 x y)}^{3}}$

Этап 11.3

Применим правило умножения к $4 x^{2} y^{2}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(4 x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x y)}^{3}}$

Этап 11.4

Применим правило умножения к $2 x y$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(4 x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Этап 11.5

Применим правило умножения к $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{4^{2} {(x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Этап 11.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 {(x^{2})}^{2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Этап 11.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{2 \cdot 2} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Этап 11.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} {(y^{2})}^{2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Этап 11.8

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{2 \cdot 2} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Этап 11.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{4} {(2 x)}^{3} y^{3}}$

Этап 11.9

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{4} (2^{3} x^{3}) y^{3}}$

Этап 11.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{16 x^{4} y^{4} \cdot 8 x^{3} y^{3}}$

Этап 11.11

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Умножим $8$ на $16$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{4} y^{4} x^{3} y^{3}}$

Этап 11.11.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 (x^{3} x^{4}) y^{4} y^{3}}$

Этап 11.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{3 + 4} y^{4} y^{3}}$

Этап 11.11.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} y^{4} y^{3}}$

Этап 11.11.3

Умножим $y^{4}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.3.1

Перенесем $y^{3}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} (y^{3} y^{4})}$

Этап 11.11.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} y^{3 + 4}}$

Этап 11.11.3.3

Добавим $3$ и $4$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{128 x^{7} y^{7}}$

Этап 12

Перепишем $128 x^{7} y^{7}$ в виде ${(2 x y)}^{6} \cdot (2 x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $64$ из $128$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{64 (2) x^{7} y^{7}}$

Этап 12.2

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 x^{7} y^{7}}$

Этап 12.3

Вынесем $x^{6}$ за скобки.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (x^{6} x) y^{7}}$

Этап 12.4

Вынесем $y^{6}$ за скобки.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (x^{6} x) (y^{6} y)}$

Этап 12.5

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (x^{6}) y^{6} x y}$

Этап 12.6

Перенесем $2$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{(2^{6} (x^{6})) y^{6} \cdot 2 x y}$

Этап 12.7

Перепишем $(2^{6} (x^{6})) y^{6}$ в виде ${(2 x y)}^{6}$ .

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(2 x y)}^{6} \cdot 2 x y}$

Этап 12.8

Добавим круглые скобки.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(2 x y)}^{6} \cdot 2 (x y)}$

Этап 12.9

Добавим круглые скобки.

$2 x^{2} y \sqrt[6]{{(2 x y)}^{6} \cdot (2 x y)}$

Этап 13

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 x^{2} y (2 x y \sqrt[6]{2 x y})$

Этап 14

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x^{2}) y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Этап 14.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Этап 14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 2} y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Этап 14.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} y (2 y \sqrt[6]{2 x y})$

Этап 15

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перенесем $y$ .

$2 x^{3} (y \cdot y) (2 \sqrt[6]{2 x y})$

Этап 15.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 x^{3} y^{2} (2 \sqrt[6]{2 x y})$

Этап 16

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} y^{2} \sqrt[6]{2 x y}$