Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i}$ на комплексно сопряженное $5 - 3 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i} \cdot \frac{5 + 3 i}{5 + 3 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(\sqrt{7} + 4 i) (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(\sqrt{7} + 4 i) (5 + 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} (5 + 3 i) + 4 i (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 5 + \sqrt{7} (3 i) + 4 i (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 5 + \sqrt{7} (3 i) + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{7}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 i) + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{7}$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \cdot \sqrt{7} i + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.3

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.4

Умножим $4 i (3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i i}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 (i^{1} i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 (i^{1} i^{1})}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i^{1 + 1}}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i^{2}}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 \cdot - 1}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.6

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i - 12}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i$ и $- 12$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(5 - 3 i) (5 + 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 (5 + 3 i) - 3 i (5 + 3 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 \cdot 5 + 5 (3 i) - 3 i (5 + 3 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 \cdot 5 + 5 (3 i) - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 5 (3 i) - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Вычтем $15 i$ из $15 i$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 0 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $25$ и $0$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 - 9 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 9}$

Этап 2.3.4

Добавим $25$ и $9$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Этап 3

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$\frac{- 1 (12) + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Этап 4

Вынесем множитель $- 1$ из $5 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 1 (12) - (- 5 \sqrt{7}) + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Этап 5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (12) - (- 5 \sqrt{7})$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Этап 6

Вынесем множитель $- 1$ из $3 \sqrt{7} i$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) - (- 3 \sqrt{7} i) + 20 i}{34}$

Этап 7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) - (- 3 \sqrt{7} i)$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) + 20 i}{34}$

Этап 8

Вынесем множитель $- 1$ из $20 i$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) - (- 20 i)}{34}$

Этап 9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) - (- 20 i)$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i)}{34}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i}{34}$

Этап 11

Разобьем дробь $\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i}{34}$ на две дроби.

$- (\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 12

Разобьем дробь $\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i}{34}$ на две дроби.

$- (\frac{12 - 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 13

Разобьем дробь $\frac{12 - 5 \sqrt{7}}{34}$ на две дроби.

$- (\frac{12}{34} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 14

Сократим общий множитель $12$ и $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$- (\frac{2 (6)}{34} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $34$ .

$- (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 14.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 14.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{6}{17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Этап 17

Сократим общий множитель $- 20$ и $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 20 i$ .

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{34})$

Этап 17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $34$ .

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{2 (17)})$

Этап 17.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{2 \cdot 17})$

Этап 17.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 10 i}{17})$

Этап 18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} - \frac{10 i}{17})$