Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x} - x}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{x^{2} (\frac{1}{x} - x)}{x^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- \frac{1}{x^{2}})}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{- 1}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{- 1}{x^{2}}}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x + x^{2} (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (- x)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (x (- x))$ .

$\frac{x (1 + x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x (1^{2} + x (- x))}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 4.3

Перепишем $x (x)$ в виде $x^{2}$ .

$\frac{x (1^{2} - x^{2})}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{x^{2} \cdot 1 - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $x^{2} \cdot 1$ в виде ${(x \cdot 1)}^{2}$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{{(x \cdot 1)}^{2} - 1}$

Этап 5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{{(x \cdot 1)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x \cdot 1$ и $b = 1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x \cdot 1 + 1) (x \cdot 1 - 1)}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x + 1) (x \cdot 1 - 1)}$

Этап 5.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $1 + x$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 1) (1 - x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (1 - x)}{x - 1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $1 - x$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (- 1 (- 1) - x)}{x - 1}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{x - 1}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{x (- 1 (- 1 + x))}{x - 1}$

Этап 6.2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x (- 1 (x - 1))}{x - 1}$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- 1 (x - 1))}{x - 1}$

Этап 6.2.6

Разделим $x \cdot (- 1)$ на $1$ .

$x \cdot (- 1)$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 x$

Этап 6.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x$