Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x^{5} + 4 x^{4} - 4 x^{3} - x - 3}{x^{2} - 2}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{5} + 0 - 4 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

Этап 6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{4} + 0 - 8 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

Этап 11

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x$

$3$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x$

$3$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{5}$

$4 x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{5}$

$0$

$4 x^{3}$

$4 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$x$

$4 x^{4}$

$0$

$8 x^{2}$

$x$

$3$

$8 x^{2}$

$0$

$16$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} + 0 - 16$ .

						$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$2 x^{5}$	+	$4 x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$3$
					-	$2 x^{5}$	-	$0$	+	$4 x^{3}$
							+	$4 x^{4}$	+	$0$	+	$0 x^{2}$	-	$x$
							-	$4 x^{4}$	-	$0$	+	$8 x^{2}$
											+	$8 x^{2}$	-	$x$	-	$3$
											-	$8 x^{2}$	-	$0$	+	$16$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$2 x^{5}$	+	$4 x^{4}$	-	$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$x$	-	$3$
					-	$2 x^{5}$	-	$0$	+	$4 x^{3}$
							+	$4 x^{4}$	+	$0$	+	$0 x^{2}$	-	$x$
							-	$4 x^{4}$	-	$0$	+	$8 x^{2}$
											+	$8 x^{2}$	-	$x$	-	$3$
											-	$8 x^{2}$	-	$0$	+	$16$
													-	$x$	+	$13$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 + \frac{- x + 13}{x^{2} - 2}$