Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (8) + \log_{8} (x + 2) - \log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{8} (x + 2)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 > 0$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x > - 2$

Этап 3

Зададим аргумент в $\log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 > 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Этап 4.2.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 4.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Этап 4.3

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 4.5

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = - 2$

Этап 4.6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 4.6.2

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 4.6.2.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 4.6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 4.6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 4.7

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{4}$

Этап 4.7.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$1$

Этап 4.8

Поскольку реальные пересечения с осью X отсутствуют и старший коэффициент положителен, концы параболы направлены вверх, и $x^{4} + 4 x^{2} + 4$ всегда больше $0$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 2}$

Этап 6