Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1.4

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{D}{x + 1}$

Этап 1.5

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.7.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{A {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $(A) {(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = (A) {(x + 1)}^{2} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.2

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} = A ((x + 1) (x + 1)) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.3

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} = A (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} = A (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} = A (x^{2} + x + x + 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x^{2} = A (x^{2} + 2 x + 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.6.2

Умножим $A$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.7

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) {(x + 1)}^{2})}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.2.1

Умножим на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) {(x + 1)}^{2})}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.7.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) {(x + 1)}^{2})}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.7.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + \frac{B (x - 1) {(x + 1)}^{2}}{1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.7.2.4

Разделим $B (x - 1) {(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B (x - 1) {(x + 1)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x + B \cdot - 1) {(x + 1)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.9

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - 1 \cdot B) {(x + 1)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.10

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) {(x + 1)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.11

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) ((x + 1) (x + 1)) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.12

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.13.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.13.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.13.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x^{2} + x + x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.13.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + (B x - B) (x^{2} + 2 x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.14

Развернем $(B x - B) (x^{2} + 2 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x \cdot x^{2} + B x (2 x) + B x \cdot 1 - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.15.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.15.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B (x^{2} x) + B x (2 x) + B x \cdot 1 - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.15.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 1.8.15.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{2 + 1} + B x (2 x) + B x \cdot 1 - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x (2 x) + B x \cdot 1 - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 2 B x \cdot x + B x \cdot 1 - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.15.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 2 B (x \cdot x) + B x \cdot 1 - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 2 B x^{2} + B x \cdot 1 - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.4

Умножим $B$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 2 B x^{2} + B x - B x^{2} - B (2 x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 2 B x^{2} + B x - B x^{2} - 1 \cdot (2 B x) - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 2 B x^{2} + B x - B x^{2} - 2 B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.15.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 2 B x^{2} + B x - B x^{2} - 2 B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.16

Вычтем $B x^{2}$ из $2 B x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + 1 B x^{2} + B x - 2 B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.17

Умножим $B$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} + B x - 2 B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.18

Вычтем $2 B x$ из $B x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.19

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.19.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.19.2

Разделим $(C) {(x - 1)}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + (C) {(x - 1)}^{2} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.20

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.21

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.21.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.21.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.22

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.22.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.22.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.22.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.22.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.22.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.22.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.22.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.23

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} + C (- 2 x) + C \cdot 1 + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.24.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C \cdot 1 + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.24.2

Умножим $C$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.8.25

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.25.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(x + 1) ((D) {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.8.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.25.2.1

Умножим на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(x + 1) ((D) {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.8.25.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(x + 1) ((D) {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.8.25.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{1}$

Этап 1.8.25.2.4

Разделим $(D) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + (D) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$

Этап 1.8.26

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D ((x - 1) (x - 1)) (x + 1)$

Этап 1.8.27

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.27.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x + 1)$

Этап 1.8.27.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x + 1)$

Этап 1.8.27.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1)$

Этап 1.8.28

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.28.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.28.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1)$

Этап 1.8.28.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1)$

Этап 1.8.28.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 1)$

Этап 1.8.28.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x + 1)$

Этап 1.8.28.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - x - x + 1) (x + 1)$

Этап 1.8.28.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - 2 x + 1) (x + 1)$

Этап 1.8.29

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + (D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 1) (x + 1)$

Этап 1.8.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.30.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + (D x^{2} - 2 D x + D \cdot 1) (x + 1)$

Этап 1.8.30.2

Умножим $D$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + (D x^{2} - 2 D x + D) (x + 1)$

Этап 1.8.31

Развернем $(D x^{2} - 2 D x + D) (x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.32.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.32.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.32.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 1 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 1 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.2

Умножим $D$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.32.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 2 D (x \cdot x) - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 2 D x^{2} - 2 D x \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 2 D x^{2} - 2 D x + D x + D \cdot 1$

Этап 1.8.32.5

Умножим $D$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 2 D x^{2} - 2 D x + D x + D$

Этап 1.8.33

Вычтем $2 D x^{2}$ из $D x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} - D x^{2} - 2 D x + D x + D$

Этап 1.8.34

Добавим $- 2 D x$ и $D x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 A x + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} - D x^{2} - D x + D$

Этап 1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перенесем $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} - D x^{2} - D x + D$

Этап 1.9.2

Изменим порядок $B$ и $x^{3}$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} - D x^{2} - D x + D$

Этап 1.9.3

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + A + B x^{3} + B x^{2} - B x - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} - D x^{2} - D x + D$

Этап 1.9.4

Перенесем $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + A + B x^{3} + B x^{2} - 1 x B - B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} - D x^{2} - D x + D$

Этап 1.9.5

Перенесем $C$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + A + B x^{3} + B x^{2} - 1 x B - B + C x^{2} - 2 C x + D x^{3} - D x^{2} - D x + C + D$

Этап 1.9.6

Перенесем $- B$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + A + B x^{3} + B x^{2} - 1 x B + C x^{2} - 2 C x + D x^{3} - D x^{2} - D x - B + C + D$

Этап 1.9.7

Перенесем $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + B x^{3} + B x^{2} - 1 x B + C x^{2} - 2 C x + D x^{3} - D x^{2} - D x + A - B + C + D$

Этап 1.9.8

Перенесем $- 2 C x$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + B x^{3} + B x^{2} - 1 x B + C x^{2} + D x^{3} - D x^{2} - 2 C x - D x + A - B + C + D$

Этап 1.9.9

Перенесем $- 1 x B$ .

$x^{2} = A x^{2} + 2 x A + B x^{3} + B x^{2} + C x^{2} + D x^{3} - D x^{2} - 1 x B - 2 C x - D x + A - B + C + D$

Этап 1.9.10

Перенесем $2 x A$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{3} + B x^{2} + C x^{2} + D x^{3} - D x^{2} + 2 x A - 1 x B - 2 C x - D x + A - B + C + D$

Этап 1.9.11

Перенесем $C x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{3} + B x^{2} + D x^{3} + C x^{2} - D x^{2} + 2 x A - 1 x B - 2 C x - D x + A - B + C + D$

Этап 1.9.12

Перенесем $B x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{3} + D x^{3} + B x^{2} + C x^{2} - D x^{2} + 2 x A - 1 x B - 2 C x - D x + A - B + C + D$

Этап 1.9.13

Перенесем $A x^{2}$ .

$x^{2} = B x^{3} + D x^{3} + A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - D x^{2} + 2 x A - 1 x B - 2 C x - D x + A - B + C + D$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + D$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B + C - 1 D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + D$

$1 = A + B + C - 1 D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$1 = A + B + C - 1 D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $0 = B + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $B + D = 0$ .

$B + D = 0$

$1 = A + B + C - 1 D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.1.2

Вычтем $D$ из обеих частей уравнения.

$B = - D$

$1 = A + B + C - 1 D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$B = - D$

$1 = A + B + C - 1 D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $- D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = A + B + C - 1 D$ на $- D$ .

$1 = A - D + C - 1 D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.2

Упростим $1 = A - D + C - 1 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$1 = A - D + C - 1 D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$1 = A - D + C - 1 D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим $A - D + C - 1 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Перепишем $- 1 D$ в виде $- D$ .

$1 = A - D + C - D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.2.2.1.2

Вычтем $D$ из $- D$ .

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $B$ в $0 = 2 A - 1 B - 2 C - 1 D$ на $- D$ .

$0 = 2 A - 1 (- D) - 2 C - 1 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим $2 A - 1 (- D) - 2 C - 1 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1.1

Умножим $- 1 (- D)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = 2 A + 1 D - 2 C - 1 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.4.1.1.1.2

Умножим $D$ на $1$ .

$0 = 2 A + D - 2 C - 1 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$0 = 2 A + D - 2 C - 1 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.4.1.1.2

Перепишем $- 1 D$ в виде $- D$ .

$0 = 2 A + D - 2 C - D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$0 = 2 A + D - 2 C - D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.4.1.2

Объединим противоположные члены в $2 A + D - 2 C - D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.2.1

Вычтем $D$ из $D$ .

$0 = 2 A - 2 C + 0$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.4.1.2.2

Добавим $2 A - 2 C$ и $0$ .

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A - 1 B + C + D$

Этап 3.2.5

Заменим все вхождения $B$ в $0 = A - 1 B + C + D$ на $- D$ .

$0 = A - 1 (- D) + C + D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.2.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Упростим $A - 1 (- D) + C + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1

Умножим $- 1 (- D)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = A + 1 D + C + D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.2.6.1.1.2

Умножим $D$ на $1$ .

$0 = A + D + C + D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A + D + C + D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.2.6.1.2

Добавим $D$ и $D$ .

$0 = A + C + 2 D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A + C + 2 D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A + C + 2 D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = A + C + 2 D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ в $0 = A + C + 2 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + C + 2 D = 0$ .

$A + C + 2 D = 0$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$A + 2 D = - C$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 D$ из обеих частей уравнения.

$A = - C - 2 D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$A = - C - 2 D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$A = - C - 2 D$

$0 = 2 A - 2 C$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $A$ на $- C - 2 D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 2 A - 2 C$ на $- C - 2 D$ .

$0 = 2 (- C - 2 D) - 2 C$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $2 (- C - 2 D) - 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 2 (- C) + 2 (- 2 D) - 2 C$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 = - 2 C + 2 (- 2 D) - 2 C$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$0 = - 2 C - 4 D - 2 C$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = - 2 C - 4 D - 2 C$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $2 C$ из $- 2 C$ .

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$1 = A + C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + C - 2 D$ на $- C - 2 D$ .

$1 = (- C - 2 D) + C - 2 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим $(- C - 2 D) + C - 2 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Объединим противоположные члены в $(- C - 2 D) + C - 2 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1.1

Добавим $- C$ и $C$ .

$1 = - 2 D + 0 - 2 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.4.1.1.2

Добавим $- 2 D$ и $0$ .

$1 = - 2 D - 2 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$1 = - 2 D - 2 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.4.4.1.2

Вычтем $2 D$ из $- 2 D$ .

$1 = - 4 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$1 = - 4 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$1 = - 4 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$1 = - 4 D$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.5

Решим относительно $D$ в $1 = - 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 D = 1$ .

$- 4 D = 1$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- 4 D = 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- 4 D = 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 D}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 D}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $D$ на $1$ .

$D = \frac{1}{- 4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$D = \frac{1}{- 4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$D = \frac{1}{- 4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$D = - \frac{1}{4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$D = - \frac{1}{4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$D = - \frac{1}{4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$D = - \frac{1}{4}$

$0 = - 4 C - 4 D$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $D$ на $- \frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $D$ в $0 = - 4 C - 4 D$ на $- \frac{1}{4}$ .

$0 = - 4 C - 4 (- \frac{1}{4})$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$0 = - 4 C - 4 (\frac{- 1}{4})$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$0 = - 4 C + 4 (- 1) (\frac{- 1}{4})$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$0 = - 4 C + 4 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{4}))$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$0 = - 4 C - 1 \cdot - 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$0 = - 4 C - 1 \cdot - 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - C - 2 D$

$B = - D$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $D$ в $A = - C - 2 D$ на $- \frac{1}{4}$ .

$A = - C - 2 (- \frac{1}{4})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$A = - C - 2 (\frac{- 1}{4})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$A = - C + 2 (- 1) (\frac{- 1}{4})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$A = - C + 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.4

Сократим общий множитель.

$A = - C + 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.1.5

Перепишем это выражение.

$A = - C - 1 (\frac{- 1}{2})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

$A = - C - 1 (\frac{- 1}{2})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - C - 1 (- \frac{1}{2})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.3

Умножим $- 1 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = - C + 1 (\frac{1}{2})$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.4.1.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = - D$

Этап 3.6.5

Заменим все вхождения $D$ в $B = - D$ на $- \frac{1}{4}$ .

$B = - (- \frac{1}{4})$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.6.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1

Умножим $- (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{4})$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.6.6.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$0 = - 4 C + 1$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.7

Решим относительно $C$ в $0 = - 4 C + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 C + 1 = 0$ .

$- 4 C + 1 = 0$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 C = - 1$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.7.3

Разделим каждый член $- 4 C = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Разделим каждый член $- 4 C = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.7.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 1}{- 4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{- 1}{- 4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{- 1}{- 4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - C + \frac{1}{2}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.8

Заменим все вхождения $C$ на $\frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Заменим все вхождения $C$ в $A = - C + \frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$A = - (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Упростим $- (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$A = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.8.2.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$A = - \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.8.2.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$A = - \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.8.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{- 1 + 2}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.8.2.1.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$D = - \frac{1}{4}$

Этап 3.9

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{4}, C = \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}, D = - \frac{1}{4}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{D}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$