Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{3} + x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x \cdot x^{2} + x}$

Этап 1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 3}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 3) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 3) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 3) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 3) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.2

Разделим $x^{2} + 2 x + 3$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x + 3 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x + 3 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A (x^{2} + 1)$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x + 3 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Этап 1.6.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Этап 1.6.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Этап 1.7

Перенесем $A$ .

$x^{2} + 2 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$2 = C$

$3 = A$

$1 = A + B$

$2 = C$

$3 = A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 2$ .

$C = 2$

$1 = A + B$

$3 = A$

Этап 3.2

Перепишем уравнение в виде $A = 3$ .

$A = 3$

$C = 2$

$1 = A + B$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $A$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $3$ .

$1 = (3) + B$

$A = 3$

$C = 2$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = 3 + B$

$A = 3$

$C = 2$

$1 = 3 + B$

$A = 3$

$C = 2$

$1 = 3 + B$

$A = 3$

$C = 2$

Этап 3.4

Решим относительно $B$ в $1 = 3 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $3 + B = 1$ .

$3 + B = 1$

$A = 3$

$C = 2$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 - 3$

$A = 3$

$C = 2$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$B = - 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = - 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = - 2$

$A = 3$

$C = 2$

Этап 3.5

Решим систему уравнений.

$B = - 2 A = 3 C = 2$

Этап 3.6

Перечислим все решения.

$B = - 2, A = 3, C = 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 2}{x^{2} + 1}$