Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
							-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$14$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{2} - 21 x - 14$ .

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

$18 x$

$19$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x - 7 + \frac{18 x + 19}{x^{2} + 3 x + 2}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{18 x + 19}{(x + 1) (x + 2)}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 2.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.6.2

Разделим $18 x + 19$ на $1$ .

$18 x + 19 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$18 x + 19 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.1.2

Разделим $(A) (x + 2)$ на $1$ .

$18 x + 19 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$18 x + 19 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$18 x + 19 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$18 x + 19 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.4.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Этап 2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Этап 2.7.6

Умножим $B$ на $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B$

Этап 2.8

Перенесем $2 A$ .

$18 x + 19 = A x + B x + 2 A + B$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$18 = A + B$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$19 = 2 A + B$

Этап 3.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $A$ в $18 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 18$ .

$A + B = 18$

$19 = 2 A + B$

Этап 4.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $A$ на $18 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $19 = 2 A + B$ на $18 - B$ .

$19 = 2 (18 - B) + B$

$A = 18 - B$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $2 (18 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$19 = 2 \cdot 18 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $18$ .

$19 = 36 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Этап 4.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

Этап 4.2.2.1.2

Добавим $- 2 B$ и $B$ .

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

Этап 4.3

Решим относительно $B$ в $19 = 36 - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $36 - B = 19$ .

$36 - B = 19$

$A = 18 - B$

Этап 4.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$- B = 19 - 36$

$A = 18 - B$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $36$ из $19$ .

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

Этап 4.3.3

Разделим каждый член $- B = - 17$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $- B = - 17$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Этап 4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Этап 4.3.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Этап 4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Разделим $- 17$ на $- 1$ .

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

Этап 4.4

Заменим все вхождения $B$ на $17$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 18 - B$ на $17$ .

$A = 18 - (17)$

$B = 17$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим $18 - (17)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $17$ .

$A = 18 - 17$

$B = 17$

Этап 4.4.2.1.2

Вычтем $17$ из $18$ .

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

Этап 4.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = 17$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $2 x - 7 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$2 x - 7 + \frac{1}{x + 1} + \frac{17}{x + 2}$