Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{x^{3} - 1}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3} - 1^{3}}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Этап 1.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 1.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + x + 1)$ на $1$ .

$2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.7.3

Умножим $A$ на $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B x + C) (x - 1)$ на $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Этап 1.7.5

Развернем $(B x + C) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Этап 1.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Этап 1.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1.1

Перенесем $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.7.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.7.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $B x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.7.6.3

Перепишем $- 1 (B x)$ в виде $- (B x)$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.7.6.4

Перенесем $- 1$ влево от $C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Этап 1.7.6.5

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Этап 1.8.2

Перенесем $B$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Этап 1.8.3

Перенесем $A$ .

$2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Этап 1.8.4

Перенесем $A x$ .

$2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 1 B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A - 1 C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A - 1 B + C$ на $- B$ .

$0 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $(- B) - 1 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$0 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- B$ .

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A - 1 C$ на $- B$ .

$2 = (- B) - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Этап 3.3

Решим относительно $C$ в $0 = - 2 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 B + C = 0$ .

$- 2 B + C = 0$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Этап 3.3.2

Добавим $2 B$ к обеим частям уравнения.

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $C$ на $2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $2 = - B - C$ на $2 B$ .

$2 = - B - (2 B)$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- B - (2 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 = - B - 2 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $- B$ .

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5

Решим относительно $B$ в $2 = - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 B = 2$ .

$- 3 B = 2$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $- 3 B = 2$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $- 3 B = 2$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{2}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = 2 B$ на $- \frac{2}{3}$ .

$C = 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $2 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $2 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$C = - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 3.6.2.1.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$C = \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 3.6.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 3.6.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Этап 3.6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Умножим $- (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Этап 3.6.4.1.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{4}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$