Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} (2 - x)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{2 - x}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (2 - x)$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} (2 - x))}{x^{2} (2 - x)} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} (2 - x))}{x^{2} (2 - x)} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (2 - x)}{2 - x} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (2 - x)}{2 - x} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.4.2

Разделим $3 x^{2} - 2 x + 4$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A (2 - x)$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = A (2 - x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 \cdot A - A x + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (2 - x))$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.5.2.3

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.5.2.4

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{B (x (2 - x))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.5.2.5

Разделим $B (x (2 - x))$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (x (2 - x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (x \cdot 2 + x (- x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 \cdot x + x (- x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 \cdot x - x \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.9.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x - (x \cdot x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x - x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.10

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x) + B (- x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x + B (- x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.13

Сократим общий множитель $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.13.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + \frac{C (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Этап 1.5.13.2

Разделим $(C) (x^{2})$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + (C) (x^{2})$

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + C x^{2}$

Этап 1.6

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 B x - B x^{2} + C x^{2}$

Этап 1.6.2

Перенесем $B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 x B - B x^{2} + C x^{2}$

Этап 1.6.3

Перенесем $B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 x B - x^{2} B + C x^{2}$

Этап 1.6.4

Перенесем $2 A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x A + 2 x B - x^{2} B + C x^{2} + 2 A$

Этап 1.6.5

Перенесем $2 x B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x A - x^{2} B + C x^{2} + 2 x B + 2 A$

Этап 1.6.6

Перенесем $- x A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x^{2} B + C x^{2} - x A + 2 x B + 2 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = - 1 B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = 2 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$4 = 2 A$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$4 = 2 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $4 = 2 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 A = 4$ .

$2 A = 4$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $2 A = 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $2 A = 4$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 2 = - 1 A + 2 B$ на $2$ .

$- 2 = - 1 \cdot 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 2 = - 2 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 + 2 B = - 2$ .

$- 2 + 2 B = - 2$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 B = - 2 + 2$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$2 B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$2 B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 0$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $3 = - 1 B + C$ на $0$ .

$3 = - 1 \cdot 0 + C$

$B = 0$

$A = 2$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 1 \cdot 0 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 = 0 + C$

$B = 0$

$A = 2$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $0$ и $C$ .

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

Этап 3.5

Перепишем уравнение в виде $C = 3$ .

$C = 3$

$B = 0$

$A = 2$

Этап 3.6

Решим систему уравнений.

$C = 3 B = 0 A = 2$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$C = 3, B = 0, A = 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{2 - x}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{3}{2 - x}$