Основы мат. анализа Примеры

${(\frac{4}{3})}^{1 - x} = 5^{x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x})$ , вынося $1 - x$ из логарифма.

$(1 - x) \ln (\frac{4}{3}) = \ln (5^{x})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{4}{3})$ в виде $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = \ln (5^{x})$

Этап 4

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5.1.3

Развернем $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (\ln (4) - \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $\ln (4)$ на $1$ .

$\ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- \ln (3)$ на $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Этап 5.1.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - 1 \cdot - 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Этап 5.1.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Этап 5.1.4.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Этап 5.2

Вычтем $x \ln (5)$ из обеих частей уравнения.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = 0$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $\ln (4)$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4)$

Этап 5.3.2

Добавим $\ln (3)$ к обеим частям уравнения.

$- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (4)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (5)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.5

Перепишем $- 1 \ln (4)$ в виде $- \ln (4)$ .

$x (- \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 \ln (5)$ в виде $- \ln (5)$ .

$x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Этап 5.7

Разделим каждый член $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ на $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ на $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (4)$ .

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (4) - 1 (- \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.5

Перепишем $- (\ln (4) - \ln (3))$ в виде $- 1 (\ln (4) - \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (4)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) - 1 (- \ln (3)) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Этап 5.7.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Этап 5.7.3.11

Перепишем $- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ в виде $- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Этап 5.7.3.12

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Этап 5.7.3.13

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 0.15164147 \dots$