Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} > \frac{8}{15}$

Этап 1

Вычтем $\frac{8}{15}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{2 b + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{b + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 b + 1) (b + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{2 b + 1}$ на $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{b + 1}$ на $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(b + 1) (2 b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(b + 1) (2 b + 1)$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{b + 1 + 2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.5

Добавим $b$ и $2 b$ .

$\frac{3 b + 1 + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} > 0$

Этап 2.8

Чтобы записать $- \frac{8}{15}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{8}{15}$ на $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Этап 2.9.3

Изменим порядок множителей в $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Этап 2.9.4

Изменим порядок множителей в $15 ((2 b + 1) (b + 1))$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15 - 8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 b \cdot 15 + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.2

Умножим $15$ на $3$ .

$\frac{45 b + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.3

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{45 b + 30 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{45 b + 30 + (- 8 (2 b) - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.5

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.6

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.7

Развернем $(- 16 b - 8) (b + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{45 b + 30 - 16 b (b + 1) - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.8.1.1

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.8.1.1.1

Перенесем $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 (b \cdot b) - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.8.1.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.8.1.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.8.1.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.8.2

Вычтем $8 b$ из $- 16 b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 24 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.9

Вычтем $24 b$ из $45 b$ .

$\frac{21 b + 30 - 16 b^{2} - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.10

Вычтем $8$ из $30$ .

$\frac{21 b - 16 b^{2} + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.11

Изменим порядок членов.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.12

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.12.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 16 \cdot 22 = - 352$ , а сумма — $b = 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.12.1.1

Вынесем множитель $21$ из $21 b$ .

$\frac{- 16 b^{2} + 21 (b) + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.12.1.2

Запишем $21$ как $- 11$ плюс $32$

$\frac{- 16 b^{2} + (- 11 + 32) b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.12.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 16 b^{2} - 11 b + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.12.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.12.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 16 b^{2} - 11 b) + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.12.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{b (- 16 b - 11) - 2 (- 16 b - 11)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.11.12.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 16 b - 11$ .

$\frac{(- 16 b - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 16 b$ .

$\frac{(- (16 b) - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.13

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$\frac{(- (16 b) - 1 (11)) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (16 b) - 1 (11)$ .

$\frac{- (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.15

Перепишем $- (16 b + 11)$ в виде $- 1 (16 b + 11)$ .

$\frac{- 1 (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$16 b + 11 = 0$

$b - 2 = 0$

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$16 b = - 11$

Этап 5

Разделим каждый член $16 b = - 11$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $16 b = - 11$ на $16$ .

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{- 11}{16}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b = - \frac{11}{16}$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$b = 2$

Этап 7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 b = - 1$

Этап 8

Разделим каждый член $2 b = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 b = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b = - \frac{1}{2}$

Этап 9

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$b = - 1$

Этап 10

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$b = - \frac{11}{16}$

$b = 2$

$b = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

Этап 11

Объединим решения.

$b = - \frac{11}{16}, 2, - \frac{1}{2}, - 1$

Этап 12

Найдем область определения $- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Зададим знаменатель в $\frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$

Этап 12.2

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Этап 12.2.2

Приравняем $2 b + 1$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Приравняем $2 b + 1$ к $0$ .

$2 b + 1 = 0$

Этап 12.2.2.2

Решим $2 b + 1 = 0$ относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 b = - 1$

Этап 12.2.2.2.2

Разделим каждый член $2 b = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 b = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 12.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 12.2.2.2.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Этап 12.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b = - \frac{1}{2}$

Этап 12.2.3

Приравняем $b + 1$ к $0$ , затем решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Приравняем $b + 1$ к $0$ .

$b + 1 = 0$

Этап 12.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$b = - 1$

Этап 12.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$ верно.

$b = - \frac{1}{2}, - 1$

Этап 12.3

Область определения ― это все значения $b$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$b < - 1$

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < b < 2$

$b > 2$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $b < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $b < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$b = - 4$

Этап 14.1.2

Заменим $b$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 (- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) + 1} > \frac{8}{15}$

Этап 14.1.3

Левая часть $- 0.\overline{476190}$ не больше правой части $0.5\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$b = - 0.84$

Этап 14.2.2

Заменим $b$ на $- 0.84$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 (- 0.84) + 1} + \frac{1}{(- 0.84) + 1} > \frac{8}{15}$

Этап 14.2.3

Левая часть $4.77941176$ больше правой части $0.5\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$b = - 0.59$

Этап 14.3.2

Заменим $b$ на $- 0.59$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 (- 0.59) + 1} + \frac{1}{(- 0.59) + 1} > \frac{8}{15}$

Этап 14.3.3

Левая часть $- 3.\overline{11653}$ не больше правой части $0.5\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < b < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < b < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$b = 0$

Этап 14.4.2

Заменим $b$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 (0) + 1} + \frac{1}{(0) + 1} > \frac{8}{15}$

Этап 14.4.3

Левая часть $2$ больше правой части $0.5\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.5

Проверим значение на интервале $b > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Выберем значение на интервале $b > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$b = 4$

Этап 14.5.2

Заменим $b$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2 (4) + 1} + \frac{1}{(4) + 1} > \frac{8}{15}$

Этап 14.5.3

Левая часть $0.3\overline{1}$ не больше правой части $0.5\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$b < - 1$ Ложь

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Истина

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Истина

$b > 2$ Ложь

$b < - 1$ Ложь

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Истина

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Истина

$b > 2$ Ложь

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ или $- \frac{1}{2} < b < 2$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 < b < - \frac{11}{16} or - \frac{1}{2} < b < 2$

Интервальное представление:

$(- 1, - \frac{11}{16}) \cup (- \frac{1}{2}, 2)$

Этап 17