Основы мат. анализа Примеры

$\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (\frac{x}{5})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ . Следовательно, $\tan (\arccos (\frac{x}{5}))$ равно $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}{\frac{x}{5}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{5}{x}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{5}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Этап 5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})} \frac{5}{x}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}} \frac{5}{x}$

Этап 5.5

Умножим $\frac{5 + x}{5}$ на $\frac{5 - x}{5}$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}} \frac{5}{x}$

Этап 5.6

Умножим $5$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}} \frac{5}{x}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(5 + x) (5 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}} \frac{5}{x}$

Этап 6.2

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}} \frac{5}{x}$

Этап 6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))} \frac{5}{x}$

Этап 7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{5}{x}$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

Этап 9

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5} \cdot \frac{5}{x}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \frac{1}{x}$

Этап 10

Объединим $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{x}$