Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{2} - 12 x > - 4$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$9 x^{2} - 12 x = - 4$

Этап 2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

${(3 x)}^{2} - 12 x + 4 = 0$

Этап 3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(3 x)}^{2} - 12 x + 2^{2} = 0$

Этап 3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 2$

Этап 3.4

Перепишем многочлен.

${(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 3 x$ и $b = 2$ .

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$9 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 > - 4$

Этап 7.1.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $x > \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$9 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 > - 4$

Этап 7.2.3

Левая часть $45$ больше правой части $- 4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{2}{3}$ Истина

$x > \frac{2}{3}$ Истина

$x < \frac{2}{3}$ Истина

$x > \frac{2}{3}$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{2}{3}$ или $x > \frac{2}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{2}{3} or x > \frac{2}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Этап 10