Основы мат. анализа Примеры

$2 \tan (x) \cdot \cos (x) - \tan (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Добавим круглые скобки.

$2 (\tan (x) \cdot \cos (x)) - \tan (x) = 0$

Этап 1.1.1.2

Выразим $2 \tan (x) \cdot \cos (x)$ через синусы и косинусы.

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - \tan (x) = 0$

Этап 1.1.1.3

Сократим общие множители.

$2 \sin (x) - \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) - \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 7

Умножим $\cos (x)$ на $0$ .

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Этап 8

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 9

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 9.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 11.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 11.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 11.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 11.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 11.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 12.2

Решим $2 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 1$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 12.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 12.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 12.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 12.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 12.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 12.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 12.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 12.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 12.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 12.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$