Основы мат. анализа Примеры

$- 2 \ln (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Этап 1

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$\ln (x^{- 2}) = \ln (\frac{5}{2})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{- 2} = \frac{5}{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{5}{2}$

Этап 3.2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$1 \cdot 2 = x^{2} \cdot 5$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$ .

$x^{2} \cdot 5 = 1 \cdot 2$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{2} \cdot 5 = 2$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $x^{2} \cdot 5 = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $x^{2} \cdot 5 = 2$ на $5$ .

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cdot 5}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Этап 3.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Этап 3.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.3.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.3.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 3.3.5.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 3.3.5.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 3.3.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 3.3.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 3.3.5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Этап 3.3.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Этап 3.3.5.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 3.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 3.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 3.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $- 2 \ln (x) = \ln (\frac{5}{2})$ истинным.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Десятичная форма:

$x = 0.63245553 \dots$