Основы мат. анализа Примеры

$12 x^{3} - x^{4} < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$12 x^{3} - x^{4} = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $12 x^{3} - x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $12 x^{3}$ .

$x^{3} \cdot 12 - x^{4} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{4}$ .

$x^{3} \cdot 12 + x^{3} (- x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} \cdot 12 + x^{3} (- x)$ .

$x^{3} (12 - x) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$12 - x = 0$

Этап 4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $12 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $12 - x$ к $0$ .

$12 - x = 0$

Этап 5.2

Решим $12 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 12$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 12$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 12$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 1}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Разделим $- 12$ на $- 1$ .

$x = 12$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} (12 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 12$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$12 {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{4} < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $- 112$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$12 {(2)}^{3} - {(2)}^{4} < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $80$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

$12 {(14)}^{3} - {(14)}^{4} < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $- 5488$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 12$ Ложь

$x > 12$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 12$ Ложь

$x > 12$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > 12$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < 0 or x > 12$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (12, \infty)$

Этап 11