Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{17}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{17}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, x - 2, (x + 2) (x - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)}$ умножим на $(x + 2) (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)}$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x - 4}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 4}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x - 4) (x - 2) + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(x - 4) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 2) - 4 (x - 2) + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 4 x + 8 + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 8 + \frac{2}{x - 2} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$x^{2} - 6 x + 8 + \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 6 x + 8 + \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 6 x + 8 + 2 (x + 2) = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 6 x + 8 + 2 x + 2 \cdot 2 = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 + 2 x + 4 = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 6 x$ и $2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 8 + 4 = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $8$ и $4$ .

$x^{2} - 4 x + 12 = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 4 x + 12 = \frac{17}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 x + 12 = 17$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $17$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 12 - 17 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $17$ из $12$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$