Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 3 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ .

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ верно.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $0.2381033$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $709.77595043$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{3}$ Ложь

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Истина

$x > \sqrt{3}$ Ложь

$x < - \sqrt{3}$ Ложь

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Истина

$x > \sqrt{3}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Интервальное представление:

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Этап 11