Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} < 2 x + 8$

Этап 1

Вычтем $2 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 2 x < 8$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 2 x = 8$

Этап 3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 4

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 4, - 2$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} < 2 (- 4) + 8$

Этап 10.1.3

Левая часть $16$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} < 2 (0) + 8$

Этап 10.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} < 2 (6) + 8$

Этап 10.3.3

Левая часть $36$ не меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 < x < 4$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 2 < x < 4$

Интервальное представление:

$(- 2, 4)$

Этап 13