Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{x}$

Этап 1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$2 - \frac{3}{x} < \frac{4}{5}$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{3}{x} < \frac{4}{5} - 2$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{4}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{4}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3}{x} < \frac{4 - 2 \cdot 5}{5}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{4 - 10}{5}$

Этап 2.5.2

Вычтем $10$ из $4$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{- 6}{5}$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x} < - \frac{6}{5}$

Этап 3

Умножим обе части на $x$ .

$- \frac{3}{x} x = - \frac{6}{5} x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{x}$ в числитель.

$\frac{- 3}{x} x = - \frac{6}{5} x$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3}{x} x = - \frac{6}{5} x$

Этап 4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 3 = - \frac{6}{5} x$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- \frac{6}{5} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Объединим $x$ и $\frac{6}{5}$ .

$- 3 = - \frac{x \cdot 6}{5}$

Этап 4.2.1.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$- 3 = - \frac{6 x}{5}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{6 x}{5} = - 3$ .

$- \frac{6 x}{5} = - 3$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $- \frac{5}{6}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{6 x}{5}) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $- \frac{5}{6} (- \frac{6 x}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{6}$ в числитель.

$\frac{- 5}{6} (- \frac{6 x}{5}) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6 x}{5}$ в числитель.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{- 6 x}{5} = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{6} \cdot \frac{- 6 x}{5} = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 1}{6} \cdot \frac{- 6 x}{5} = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{6} (- 6 x) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x$ .

$\frac{- 1}{6} (6 (- x)) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{6} (6 (- x)) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - x = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $- \frac{5}{6} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{6}$ в числитель.

$x = \frac{- 5}{6} \cdot - 3$

Этап 5.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x = \frac{- 5}{3 (2)} \cdot - 3$

Этап 5.3.2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$x = \frac{- 5}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 5.3.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 5}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 5.3.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Этап 5.3.2.1.2

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $- 1$ .

$x = \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 6

Найдем область определения $- \frac{6}{5} + \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{3}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 6.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{- 2}$

Этап 8.1.3

Левая часть $0.8$ не больше правой части $3.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{1}$

Этап 8.2.3

Левая часть $0.8$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{5}$

Этап 8.3.3

Левая часть $0.8$ не больше правой части $1.4$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{5}{2}$ Истина

$x > \frac{5}{2}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{5}{2}$ Истина

$x > \frac{5}{2}$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{5}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < \frac{5}{2}$

Интервальное представление:

$(0, \frac{5}{2})$

Этап 11