Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (3 x - 7) < 3$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{2} (3 x - 7) = 3$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log_{2} (3 x - 7) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = 3 x - 7$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $3 x - 7 = 2^{3}$ .

$3 x - 7 = 2^{3}$

Этап 2.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 x - 7 = 8$

Этап 2.2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 8 + 7$

Этап 2.2.3.2

Добавим $8$ и $7$ .

$3 x = 15$

Этап 2.2.4

Разделим каждый член $3 x = 15$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разделим каждый член $3 x = 15$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{15}{3}$

Этап 2.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Разделим $15$ на $3$ .

$x = 5$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{2} (3 x - 7) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{2} (3 x - 7)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 x - 7 > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $7$ к обеим частям неравенства.

$3 x > 7$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 x > 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x > 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{7}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} > \frac{7}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{7}{3}$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(\frac{7}{3}, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{7}{3}$

$\frac{7}{3} < x < 5$

$x > 5$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (3 (0) - 7) < 3$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $\frac{7}{3} < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{7}{3} < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (3 (4) - 7) < 3$

Этап 5.2.3

Левая часть $2.32192809$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\log_{2} (3 (8) - 7) < 3$

Этап 5.3.3

Левая часть $4.08746284$ не меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{7}{3}$ Ложь

$\frac{7}{3} < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < \frac{7}{3}$ Ложь

$\frac{7}{3} < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{7}{3} < x < 5$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{7}{3} < x < 5$

Интервальное представление:

$(\frac{7}{3}, 5)$

Этап 8