Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\frac{5 π}{24})$

Этап 1

Представим $\frac{5 π}{24}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{5 π}{12}}{2})$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

Этап 3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

Этап 4

Найдем точное значение $\cos (\frac{5 π}{12})$ , используя формулу суммы и разностную формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $\frac{5 π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})}{2}}$

Этап 4.2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 4.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.7

Упростим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.7.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 4.7.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

Этап 4.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

Этап 4.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Этап 5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 5.4

Умножим $\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

Этап 5.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$

Этап 5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Этап 5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 5.6.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 5.7

Умножим $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.8.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 5.8.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 5.8.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 5.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.8.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.8.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.8.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.8.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.8.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 5.8.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.10

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Десятичная форма:

$0.79335334 \dots$