Основы мат. анализа Примеры

$\cos (45) \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (15)$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - 30) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.3

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.7.2

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.7.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.7.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.7.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.7.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.8

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3} + 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Этап 1.9

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (15)$

Этап 1.10

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - 30)$

Этап 1.10.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - (30))$

Этап 1.10.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.10.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.10.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.10.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Этап 1.10.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.10.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.10.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.10.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.10.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.10.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 1.10.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 1.10.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 1.11

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.11.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8}$

Этап 1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 1.13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 1.14

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Этап 1.14.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Этап 1.14.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Этап 1.14.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 1.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 1.15.2

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 1.15.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 1.15.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 1.15.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Этап 1.15.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Этап 1.15.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 1.15.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 1.15.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Этап 1.15.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Этап 1.15.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Этап 1.16

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3} - 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Этап 1.16.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Этап 1.16.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Этап 1.16.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Этап 1.16.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Этап 1.16.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{4}$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} - - 1}{4}$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{4}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\sqrt{3}$ из $\sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{4}$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$