Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{x}{6}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{6})}^{2}}, \frac{x}{6})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{6})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x}{6})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{6})}^{2}}, \frac{x}{6})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{x}{6}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x}{6})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{6})}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{6})}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{6}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{6}) (1 - \frac{x}{6})}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{6}{6} + \frac{x}{6}) (1 - \frac{x}{6})}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{6 + x}{6} (1 - \frac{x}{6})}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{6 + x}{6} (\frac{6}{6} - \frac{x}{6})}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{6 + x}{6} \cdot \frac{6 - x}{6}}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{6 + x}{6}$ на $\frac{6 - x}{6}$ .

$\sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 \cdot 6}}$

Этап 3.6

Умножим $6$ на $6$ .

$\sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{36}}$

Этап 4

Перепишем $\frac{(6 + x) (6 - x)}{36}$ в виде ${(\frac{1}{6})}^{2} ((6 + x) (6 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(6 + x) (6 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{36}}$

Этап 4.2

Вынесем полную степень $6^{2}$ из $36$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{6^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{6^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{6})}^{2} ((6 + x) (6 - x))}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{6} \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{6}$