Основы мат. анализа Примеры

$\cot (90 - x) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$90 - x = arccot (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$90 - x = \frac{π}{4}$

Этап 3

Вычтем $90$ из обеих частей уравнения.

$- x = \frac{π}{4} - 90$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = \frac{π}{4} - 90$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = \frac{π}{4} - 90$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{π}{4}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{π}{4}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{π}{4}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{π}{4} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{π}{4}$ в виде $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 4.3.1.3

Разделим $- 90$ на $- 1$ .

$x = - \frac{π}{4} + 90$

Этап 5

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$90 - x = π + \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$90 - x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$90 - x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$90 - x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$90 - x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 6.1.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$90 - x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2

Вычтем $90$ из обеих частей уравнения.

$- x = \frac{5 π}{4} - 90$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- x = \frac{5 π}{4} - 90$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- x = \frac{5 π}{4} - 90$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{5 π}{4}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{5 π}{4}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{- 1} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{5 π}{4}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{5 π}{4} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{5 π}{4}$ в виде $- \frac{5 π}{4}$ .

$x = - \frac{5 π}{4} + \frac{- 90}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.3

Разделим $- 90$ на $- 1$ .

$x = - \frac{5 π}{4} + 90$

Этап 7

Найдем период $\cot (90 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $- 1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| - 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4} + 90$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 90 + π$

Этап 8.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + 90$

Этап 8.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4} + 90$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4} + 90$

Этап 8.5

Вычтем $π$ из $π \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4} + 90$

Этап 8.5.2

Вычтем $π$ из $4 \cdot π$ .

$\frac{3 \cdot π}{4} + 90$

$\frac{3 π}{4} + 90$

Этап 8.6

Добавим $π$ к $- \frac{5 π}{4} + 90$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{5 π}{4} + 90 + π$

Этап 8.7

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 π}{4} + 90$

Этап 8.8

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{5 π}{4} + 90$

Этап 8.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - 5 π}{4} + 90$

Этап 8.10

Вычтем $5 π$ из $π \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.10.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$\frac{4 \cdot π - 5 π}{4} + 90$

Этап 8.10.2

Вычтем $5 π$ из $4 \cdot π$ .

$\frac{- π}{4} + 90$

Этап 8.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{π}{4} + 90$

Этап 8.12

Перечислим новые углы.

$x = - \frac{π}{4} + 90$

Этап 9

Период функции $\cot (90 - x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = - \frac{π}{4} + 90 + π n, \frac{3 π}{4} + 90 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = - \frac{π}{4} + 90 + π n$ , для любого целого $n$