Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15 = 0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разложим $4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Этап 1.2.2.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} + 1 + 15$

Этап 1.2.2.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2} + 1 + 15$

Этап 1.2.2.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 - 12 {(- 1)}^{2} + 1 + 15$

Этап 1.2.2.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 4 - 12 \cdot 1 + 1 + 15$

Этап 1.2.2.1.3.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 4 - 12 + 1 + 15$

Этап 1.2.2.1.3.6

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$- 16 + 1 + 15$

Этап 1.2.2.1.3.7

Добавим $- 16$ и $1$ .

$- 15 + 15$

Этап 1.2.2.1.3.8

Добавим $- 15$ и $15$ .

$0$

Этап 1.2.2.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$

Этап 1.2.2.1.5

Разделим $4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$15$

Этап 1.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$

Этап 1.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$

Этап 1.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 1.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x^{2} - 16 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 1.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$

Этап 1.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$16 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$

Этап 1.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$

Этап 1.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

Этап 1.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x + 15$ .

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

Этап 1.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$16 x$	+	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$x$	+	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$16 x^{2}$	-	$x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	+	$15$
							-	$15 x$	-	$15$
										$0$

Этап 1.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - 16 x + 15$

Этап 1.2.2.1.6

Запишем $4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (4 x^{2} - 16 x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 x$ .

$(x + 1) (4 x^{2} - 16 x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Запишем $- 16$ как $- 6$ плюс $- 10$

$(x + 1) (4 x^{2} + (- 6 - 10) x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (4 x^{2} - 6 x - 10 x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((4 x^{2} - 6 x) - 10 x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (2 x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(x + 1) ((2 x - 3) (2 x - 5)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (2 x - 3) (2 x - 5) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 1.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 1.2.6

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 1.2.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (2 x - 3) (2 x - 5) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- 1, 0), (\frac{3}{2}, 0), (\frac{5}{2}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - (0) + 15$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 12 {(0)}^{2} - (0) + 15$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - (0) + 15$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - (0) + 15$

Этап 2.2.4

Упростим $4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - (0) + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} - (0) + 15$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 - 12 {(0)}^{2} - (0) + 15$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 12 \cdot 0 - (0) + 15$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 12$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - (0) + 15$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 15$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 15$

Этап 2.2.4.2.3

Добавим $0$ и $15$ .

$y = 15$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 15)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- 1, 0), (\frac{3}{2}, 0), (\frac{5}{2}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 15)$

Этап 4