Основы мат. анализа Примеры

$\sin (75) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\sin (75)$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (30 + 45) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.2

Применим формулу для суммы углов.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.3

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.7

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.7.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (15) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (15)$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (45 - 30) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cos (45 - (30)) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.3

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.4

Развернем $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.3

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.10

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.11

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.12

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6 \cdot 2}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.14

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{12}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.15

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{4 (3)}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.15.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + 2 \sqrt{3}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.2

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 6 + 4 \sqrt{3}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.5.3

Добавим $2$ и $6$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $8 + 4 \sqrt{3}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} + \cos (105) \sin (15)$

Этап 1.7

Точное значение $\cos (105)$ : $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \cos (75) \sin (15)$

Этап 1.7.2

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \cos (30 + 45) \sin (15)$

Этап 1.7.3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.7.4

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.7.5

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.7.6

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (15)$

Этап 1.7.7

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.7.8

Упростим $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.7.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.7.8.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.7.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Этап 1.7.8.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Этап 1.7.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (15)$

Этап 1.7.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (15)$

Этап 1.8

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (45 - 30)$

Этап 1.8.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (45 - (30))$

Этап 1.8.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.8.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.8.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Этап 1.8.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Этап 1.8.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.8.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.8.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.8.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.8.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.8.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 1.8.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 1.8.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 1.9

Умножим $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Этап 1.9.2

Возведем $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Этап 1.9.3

Возведем $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.9.6

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Этап 1.10

Перепишем ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.11

Развернем $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.5

Умножим $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.5.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.6

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.9

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.9.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.10

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Этап 1.12.1.13

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.13.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 1.12.1.13.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 1.12.1.13.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Этап 1.12.1.13.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Этап 1.12.1.13.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Этап 1.12.1.13.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Этап 1.12.1.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Этап 1.12.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Этап 1.12.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 1.12.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Этап 1.12.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Этап 1.12.1.14.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Этап 1.12.2

Добавим $6$ и $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Этап 1.12.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Этап 1.13

Сократим общий множитель $8 - 4 \sqrt{3}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Этап 1.13.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Этап 1.13.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Этап 1.13.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Этап 1.13.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Этап 1.13.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3})}{4}$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}}{4}$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 - - \sqrt{3}}{4}$

Этап 3.3

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + 1 \sqrt{3}}{4}$

Этап 3.3.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}}{4}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}$

Этап 4.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Десятичная форма:

$0.86602540 \dots$