Основы мат. анализа Примеры

$\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{x}{2})$ . Следовательно, $\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$ равно $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Этап 3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

Этап 4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

Этап 4.5

Перепишем $\frac{4 + x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $4 + x^{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

Этап 4.5.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

Этап 4.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

Этап 4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Этап 5

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{1}}$

Этап 6.2

Разделим $\sqrt{4 + x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Этап 7

Умножим $\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Этап 8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Этап 8.2

Возведем $\sqrt{4 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Этап 8.3

Возведем $\sqrt{4 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

Этап 8.6

Перепишем ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ в виде $4 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 + x^{2}}$ в виде ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

Этап 8.6.5

Упростим.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$