Основы мат. анализа Примеры

$\sec (\arctan (x - 1))$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, x - 1)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (x - 1)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, x - 1)$ . Следовательно, $\sec (\arctan (x - 1))$ равно $\sqrt{1 + {(x - 1)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\sqrt{1 + (x - 1) (x - 1)}$

Этап 2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\sqrt{1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\sqrt{1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

Этап 3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{1 + x^{2} - x - x + 1}$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\sqrt{1 + x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$