Основы мат. анализа Примеры

$\sec (\arctan (\frac{1}{2} x))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{1}{2} x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{1}{2} x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{1}{2} x)$ . Следовательно, $\sec (\arctan (\frac{1}{2} x))$ равно $\sqrt{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}$

Этап 5

Перепишем $\frac{4 + x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $4 + x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}$

Этап 5.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}$

Этап 6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$