Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cot (2 x) - \tan (2 x)}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\cot (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \tan (2 x)}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

Этап 1.2

Выразим $\tan (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

Этап 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$ на $\frac{\sin (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x) \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x) \cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) + \cos (2 x)}$

Этап 2.2

Объединим.

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x) (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x) + \cos (2 x))}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $\sin (2 x)$ из $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) (\cos (2 x)) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (2 x) \cos (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.2

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.3

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) (- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в числитель.

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \frac{- \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.6.2

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) \frac{- \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) \frac{- \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.7

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) - (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.8

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) - (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1}}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (2 x)$ и $b = \sin (2 x)$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\sin (2 x) \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 6.1.2

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{{\sin (2 x)}^{1 + 1} \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 6.2

Умножим $\sin (2 x) \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x))}$

Этап 6.2.2

Возведем $\cos (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x))}$

Этап 6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) {\cos (2 x)}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos^{2} (2 x)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $\sin (2 x) \cos (2 x)$ из $\sin^{2} (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cos^{2} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $\sin (2 x) \cos (2 x)$ из $\sin^{2} (2 x) \cos (2 x)$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \cos^{2} (2 x)}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $\sin (2 x) \cos (2 x)$ из $\sin (2 x) \cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \cos (2 x) (\cos (2 x))}$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $\sin (2 x) \cos (2 x)$ из $\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \cos (2 x) (\cos (2 x))$ .

$\frac{(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) - \sin (2 x))}{\sin (2 x) \cos (2 x) (\sin (2 x) + \cos (2 x))}$