Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{2} (3 θ) - \sin^{2} (3 θ)$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (3 θ)$ и $b = \sin (3 θ)$ .

$(\cos (3 θ) + \sin (3 θ)) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$

Этап 2

Развернем $(\cos (3 θ) + \sin (3 θ)) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (3 θ) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \cos (3 θ) (- \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \cos (3 θ) (- \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим противоположные члены в $\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \cos (3 θ) (- \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (3 θ) (- \sin (3 θ))$ и $\sin (3 θ) \cos (3 θ)$ .

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) - \cos (3 θ) \sin (3 θ) + \cos (3 θ) \sin (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3.1.2

Добавим $- \cos (3 θ) \sin (3 θ)$ и $\cos (3 θ) \sin (3 θ)$ .

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + 0 + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3.1.3

Добавим $\cos (3 θ) \cos (3 θ)$ и $0$ .

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\cos (3 θ) \cos (3 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $\cos (3 θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3.2.1.2

Возведем $\cos (3 θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (3 θ) \cos^{1} (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (3 θ)}^{1 + 1} + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (3 θ) - \sin (3 θ) \sin (3 θ)$

Этап 3.2.3

Умножим $- \sin (3 θ) \sin (3 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведем $\sin (3 θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) - (\sin^{1} (3 θ) \sin (3 θ))$

Этап 3.2.3.2

Возведем $\sin (3 θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) - (\sin^{1} (3 θ) \sin^{1} (3 θ))$

Этап 3.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (3 θ) - {\sin (3 θ)}^{1 + 1}$

Этап 3.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) - \sin^{2} (3 θ)$

Этап 4

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 (3 θ))$

Этап 5

Умножим $3$ на $2$ .

$\cos (6 θ)$