Основы мат. анализа Примеры

$\frac{8 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$\frac{8 u^{2} + 10 u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 u$ .

$\frac{8 u^{2} + 10 (u) + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $10$ как $4$ плюс $6$

$\frac{8 u^{2} + (4 + 6) u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 u^{2} + 4 u + 6 u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(8 u^{2} + 4 u) + 6 u + 3}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{4 u (2 u + 1) + 3 (2 u + 1)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$\frac{(2 u + 1) (4 u + 3)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 1}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + 3 u + 1}$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u$ .

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + 3 (u) + 1}$

Этап 2.2.1.2

Запишем $3$ как $1$ плюс $2$

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + (1 + 2) u + 1}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + 1 u + 2 u + 1}$

Этап 2.2.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{2 u^{2} + u + 2 u + 1}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 u^{2} + u) + 2 u + 1}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{u (2 u + 1) + 1 (2 u + 1)}$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 u + 1) (u + 1)}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $2 \sin (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) + 3)}{(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1}$