Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ на $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(\cos (t) + 1) \sin (t)$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (t) \cdot 1$ и $- 1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.2.2

Вычтем $1 \cos (t)$ из $1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.2.3

Добавим $\cos (t) \cos (t)$ и $0$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\cos (t) \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.3.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.4

Изменим порядок $\cos^{2} (t)$ и $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.8

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.9

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.10

Умножим $\sin (t) \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.10.2

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 5.11

Добавим $- \sin^{2} (t)$ и $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

Этап 8

Разделим $0$ на $\cos (t) + 1$ .

$0 \csc (t)$

Этап 9

Умножим $0$ на $\csc (t)$ .

$0$