Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3}{x^{2} + x - 2} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 2) (x - 1)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x - 3) - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x - 9 - 5 x - 5 \cdot - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.4

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 x + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.5

Вычтем $5 x$ из $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 9 + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.6

Добавим $- 9$ и $5$ .

$\frac{- 2 x - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.7

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 6.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (- x - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $- x - 2$ и $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 7.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 7.4

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Этап 7.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{(x - 1) (x - 3)}$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x - 1) (x - 3)}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{(x - 1) (x - 3)}$