Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 r}{r^{2} - 25} - \frac{5}{4 r + 20}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{3 r}{r^{2} - 5^{2}} - \frac{5}{4 r + 20}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r$ и $b = 5$ .

$\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)} - \frac{5}{4 r + 20}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 r + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 r$ .

$\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)} - \frac{5}{4 (r) + 20}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)} - \frac{5}{4 r + 4 \cdot 5}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 r + 4 \cdot 5$ .

$\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)} - \frac{5}{4 (r + 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4 (r + 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{5}{4 (r + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4 (r + 5)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(r + 5) (r - 5) \cdot 4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3 r}{(r + 5) (r - 5)}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 r \cdot 4}{(r + 5) (r - 5) \cdot 4} - \frac{5}{4 (r + 5)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5}{4 (r + 5)}$ на $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{3 r \cdot 4}{(r + 5) (r - 5) \cdot 4} - \frac{5 (r - 5)}{4 (r + 5) (r - 5)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(r + 5) (r - 5) \cdot 4$ .

$\frac{3 r \cdot 4}{4 (r + 5) (r - 5)} - \frac{5 (r - 5)}{4 (r + 5) (r - 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 r \cdot 4 - 5 (r - 5)}{4 (r + 5) (r - 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 r - 5 (r - 5)}{4 (r + 5) (r - 5)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 r - 5 r - 5 \cdot - 5}{4 (r + 5) (r - 5)}$

Этап 6.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{12 r - 5 r + 25}{4 (r + 5) (r - 5)}$

Этап 6.4

Вычтем $5 r$ из $12 r$ .

$\frac{7 r + 25}{4 (r + 5) (r - 5)}$