Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 i}{1 - i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{4 i}{1 - i}$ на комплексно сопряженное $1 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{4 i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{4 i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 i \cdot 1 + 4 i i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 i + 4 i i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.3

Умножим $4 i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{4 i + 4 (i^{1} i)}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{4 i + 4 (i^{1} i^{1})}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 i + 4 i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 i + 4 i^{2}}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{4 i + 4 \cdot - 1}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.4.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 i - 4}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.2.5

Изменим порядок $4 i$ и $- 4$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Развернем $(1 - i) (1 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2.7

Вычтем $i$ из $1 i$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 - - 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $- 4 + 4 i$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 4 i}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4 i$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 2 (2 i)}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2) + 2 (2 i)$ .

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2 (1)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2 \cdot 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 + 2 i}{1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.3.4.4

Разделим $- 2 + 2 i$ на $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Этап 1.4

Умножим числитель и знаменатель $\frac{8 + i}{2 + 3 i}$ на комплексно сопряженное $2 + 3 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$- 2 + 2 i - (\frac{8 + i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i})$

Этап 1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим.

$- 2 + 2 i - \frac{(8 + i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Развернем $(8 + i) (2 - 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 + 2 i - \frac{8 (2 - 3 i) + i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 + 2 i - \frac{8 \cdot 2 + 8 (- 3 i) + i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 + 2 i - \frac{8 \cdot 2 + 8 (- 3 i) + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Умножим $8$ на $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 + 8 (- 3 i) + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $8$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 \cdot i + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.4

Умножим $i (- 3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.4.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.1.6

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i + 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.2

Добавим $16$ и $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 24 i + 2 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.2.2.3

Добавим $- 24 i$ и $2 i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Развернем $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Этап 1.5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 1.5.3.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Этап 1.5.3.2.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Этап 1.5.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Этап 1.5.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Этап 1.5.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Этап 1.5.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Этап 1.5.3.2.9

Добавим $- 6 i$ и $6 i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Этап 1.5.3.2.10

Добавим $4$ и $0$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 9 i^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.3.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 9}$

Этап 1.5.3.4

Добавим $4$ и $9$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{13}$

Этап 1.6

Разобьем дробь $\frac{19 - 22 i}{13}$ на две дроби.

$- 2 + 2 i - (\frac{19}{13} + \frac{- 22 i}{13})$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 + 2 i - (\frac{19}{13} - \frac{22 i}{13})$

Этап 1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} - - \frac{22 i}{13}$

Этап 1.9

Умножим $- - \frac{22 i}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} + 1 \frac{22 i}{13}$

Этап 1.9.2

Умножим $\frac{22 i}{13}$ на $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} + \frac{22 i}{13}$

Этап 2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{13}{13}$ .

$- 2 \cdot \frac{13}{13} - \frac{19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Этап 3

Объединим $- 2$ и $\frac{13}{13}$ .

$\frac{- 2 \cdot 13}{13} - \frac{19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \cdot 13 - 19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 2$ на $13$ .

$\frac{- 26 - 19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Этап 5.2

Вычтем $19$ из $- 26$ .

$\frac{- 45}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{45}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Этап 7

Чтобы записать $2 i$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{45}{13} + 2 i \cdot \frac{13}{13} + \frac{22 i}{13}$

Этап 8

Объединим $2 i$ и $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{45}{13} + \frac{2 i \cdot 13}{13} + \frac{22 i}{13}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{45}{13} + \frac{48 i}{13}$