Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6}{2 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

Этап 1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 r (r + 6) (r - 6)$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ((r (r + 6)) (r - 6))} - \frac{r - 3}{3}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ((r (r + 6)) (r - 6))} - \frac{r - 3}{3}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{(r (r + 6)) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

$\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{r - 3}{3}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{r - 3}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$ .

$\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{r - 3}{3} \cdot \frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $r (r + 6) (r - 6) \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{r (r + 6) (r - 6) \cdot 3} - \frac{r - 3}{3} \cdot \frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{r - 3}{3}$ на $\frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{r (r + 6) (r - 6) \cdot 3} - \frac{(r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 (r (r + 6) (r - 6))}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $r (r + 6) (r - 6) \cdot 3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{(r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 (r (r + 6) (r - 6))}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $3 (r (r + 6) (r - 6))$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{(r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 3 - (r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 - (r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + (- r - - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + (- r + 3) ((r \cdot r + r \cdot 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.5

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) ((r^{2} + r \cdot 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.6

Перенесем $6$ влево от $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) ((r^{2} + 6 \cdot r) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.7

Развернем $(r^{2} + 6 r) (r - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} (r - 6) + 6 r (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} r + r^{2} \cdot - 6 + 6 r (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} r + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Умножим $r^{2}$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1.1

Умножим $r^{2}$ на $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1.1.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} r^{1} + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2 + 1} + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $r^{2}$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 \cdot r^{2} + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.1.3

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.3.1

Перенесем $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 r^{2} + 6 (r \cdot r) + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.1.3.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 r^{2} + 6 r^{2} + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.1.4

Умножим $- 6$ на $6$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 r^{2} + 6 r^{2} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.2

Добавим $- 6 r^{2}$ и $6 r^{2}$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} + 0 - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.8.3

Добавим $r^{3}$ и $0$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.9

Развернем $(- r + 3) (r^{3} - 36 r)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 - r (r^{3} - 36 r) + 3 (r^{3} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 - r \cdot r^{3} - r (- 36 r) + 3 (r^{3} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 - r \cdot r^{3} - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Умножим $r$ на $r^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.1

Перенесем $r^{3}$ .

$\frac{9 - (r^{3} r) - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.1.2

Умножим $r^{3}$ на $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{9 - (r^{3} r^{1}) - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 - r^{3 + 1} - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{9 - r^{4} - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 - r^{4} - 1 \cdot - 36 r \cdot r + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.3

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Перенесем $r$ .

$\frac{9 - r^{4} - 1 \cdot - 36 (r \cdot r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.3.2

Умножим $r$ на $r$ .

$\frac{9 - r^{4} - 1 \cdot - 36 r^{2} + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.4

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$\frac{9 - r^{4} + 36 r^{2} + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.10.5

Умножим $- 36$ на $3$ .

$\frac{9 - r^{4} + 36 r^{2} + 3 r^{3} - 108 r}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 6.11

Изменим порядок членов.

$\frac{- r^{4} + 3 r^{3} + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- r^{4}$ .

$\frac{- (r^{4}) + 3 r^{3} + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 r^{3}$ .

$\frac{- (r^{4}) - (- 3 r^{3}) + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r^{4}) - (- 3 r^{3})$ .

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3}) + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $36 r^{2}$ .

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3}) - (- 36 r^{2}) - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r^{4} - 3 r^{3}) - (- 36 r^{2})$ .

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2}) - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 108 r$ .

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2}) - (108 r) + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2}) - (108 r)$ .

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r) + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.8

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r) - 1 (- 9)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r) - 1 (- 9)$ .

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Перепишем $- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)$ в виде $- 1 (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)$ .

$\frac{- 1 (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Этап 7.10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$