Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{1 + i} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{1 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $1 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.2

Умножим $1 - i$ на $1$ .

$\frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Развернем $(1 + 1 i) (1 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.9

Добавим $- 1 i$ и $1 i$ .

$\frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - i}{1 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 - - 1} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.3

Разобьем дробь $\frac{1 - i}{2}$ на две дроби.

$\frac{1}{2} + \frac{- i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Этап 1.5

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{1 - i}$ на комплексно сопряженное $1 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Этап 1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 1.6.2

Умножим $1 + i$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 1.6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Развернем $(1 - i) (1 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Этап 1.6.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Этап 1.6.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Этап 1.6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Этап 1.6.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i i}$

Этап 1.6.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Этап 1.6.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 1.6.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Этап 1.6.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Этап 1.6.3.2.7

Вычтем $i$ из $1 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}}$

Этап 1.6.3.2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - i^{2}}$

Этап 1.6.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - - 1}$

Этап 1.6.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1}$

Этап 1.6.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{2}$

Этап 1.7

Разобьем дробь $\frac{1 + i}{2}$ на две дроби.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Этап 1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - i - 1 - i}{2}$

Этап 2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 - i - i}{2}$

Этап 2.2.2

Вычтем $i$ из $0$ .

$\frac{- i - i}{2}$

Этап 2.3

Вычтем $i$ из $- i$ .

$\frac{- 2 i}{2}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 i$ .

$\frac{2 (- i)}{2}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- i)}{2 (1)}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- i)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- i}{1}$

Этап 2.4.2.4

Разделим $- i$ на $1$ .

$- i$