Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x^{2} - x - 2} - \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{(x - 2) (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) (x + 1) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{(x - 2) (x + 1)}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x - 2) (x + 1) (x - 3)} - \frac{x}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{x}{(x - 3) (x - 2)}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x - 2) (x + 1) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 3) (x - 2) (x + 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 3) (x - 2) (x + 1)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 - x \cdot x - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x - 3 - (x \cdot x) - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x - 3 - x^{2} - x \cdot 1}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - 3 - x^{2} - x}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{- 3 - x^{2} + 0}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 6.5

Добавим $- 3 - x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 3 - x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) - x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 1 (3) - (x^{2})}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3 + x^{2})}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 + x^{2}}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$