Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{4 p^{2} + 16 p} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4 p$ из $4 p^{2} + 16 p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4 p$ из $4 p^{2}$ .

$\frac{2}{4 p (p) + 16 p} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4 p$ из $16 p$ .

$\frac{2}{4 p (p) + 4 p (4)} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4 p$ из $4 p (p) + 4 p (4)$ .

$\frac{2}{4 p (p + 4)} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 p (p + 4)} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 p (p + 4)$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 p (p + 4))} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 p (p + 4))} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 p (p + 4)} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{2 p (p + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 p - 3}{2 p - 3}$ .

$\frac{1}{2 p (p + 4)} \cdot \frac{2 p - 3}{2 p - 3} - \frac{p - 1}{2 p - 3}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{p - 1}{2 p - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 p (p + 4)}{2 p (p + 4)}$ .

$\frac{1}{2 p (p + 4)} \cdot \frac{2 p - 3}{2 p - 3} - \frac{p - 1}{2 p - 3} \cdot \frac{2 p (p + 4)}{2 p (p + 4)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 p (p + 4) (2 p - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{2 p (p + 4)}$ на $\frac{2 p - 3}{2 p - 3}$ .

$\frac{2 p - 3}{2 p (p + 4) (2 p - 3)} - \frac{p - 1}{2 p - 3} \cdot \frac{2 p (p + 4)}{2 p (p + 4)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{p - 1}{2 p - 3}$ на $\frac{2 p (p + 4)}{2 p (p + 4)}$ .

$\frac{2 p - 3}{2 p (p + 4) (2 p - 3)} - \frac{(p - 1) (2 p (p + 4))}{(2 p - 3) (2 p (p + 4))}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $2 p (p + 4) (2 p - 3)$ .

$\frac{2 p - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)} - \frac{(p - 1) (2 p (p + 4))}{(2 p - 3) (2 p (p + 4))}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(2 p - 3) (2 p (p + 4))$ .

$\frac{2 p - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)} - \frac{(p - 1) (2 p (p + 4))}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 p - 3 - (p - 1) (2 p (p + 4))}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 p - 3 + (- p - - 1) (2 p (p + 4))}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 p - 3 + (- p + 1) (2 p (p + 4))}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 p - 3 + (- p + 1) (2 p \cdot p + 2 p \cdot 4)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.4

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $p$ .

$\frac{2 p - 3 + (- p + 1) (2 (p \cdot p) + 2 p \cdot 4)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.4.2

Умножим $p$ на $p$ .

$\frac{2 p - 3 + (- p + 1) (2 p^{2} + 2 p \cdot 4)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.5

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{2 p - 3 + (- p + 1) (2 p^{2} + 8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.6

Развернем $(- p + 1) (2 p^{2} + 8 p)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 p - 3 - p (2 p^{2} + 8 p) + 1 (2 p^{2} + 8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 p - 3 - p (2 p^{2}) - p (8 p) + 1 (2 p^{2} + 8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 p - 3 - p (2 p^{2}) - p (8 p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 p - 3 - 1 \cdot 2 p \cdot p^{2} - p (8 p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $p$ на $p^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.1

Перенесем $p^{2}$ .

$\frac{2 p - 3 - 1 \cdot 2 (p^{2} p) - p (8 p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.2.2

Умножим $p^{2}$ на $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.2.1

Возведем $p$ в степень $1$ .

$\frac{2 p - 3 - 1 \cdot 2 (p^{2} p^{1}) - p (8 p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 p - 3 - 1 \cdot 2 p^{2 + 1} - p (8 p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 p - 3 - 1 \cdot 2 p^{3} - p (8 p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - p (8 p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - 1 \cdot 8 p \cdot p + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.5

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.5.1

Перенесем $p$ .

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - 1 \cdot 8 (p \cdot p) + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.5.2

Умножим $p$ на $p$ .

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - 1 \cdot 8 p^{2} + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.6

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - 8 p^{2} + 1 (2 p^{2}) + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.7

Умножим $2 p^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - 8 p^{2} + 2 p^{2} + 1 (8 p)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.1.8

Умножим $8 p$ на $1$ .

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - 8 p^{2} + 2 p^{2} + 8 p}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.7.2

Добавим $- 8 p^{2}$ и $2 p^{2}$ .

$\frac{2 p - 3 - 2 p^{3} - 6 p^{2} + 8 p}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.8

Добавим $2 p$ и $8 p$ .

$\frac{- 3 - 2 p^{3} - 6 p^{2} + 10 p}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 6.9

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 p^{3} - 6 p^{2} + 10 p - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 p^{3}$ .

$\frac{- (2 p^{3}) - 6 p^{2} + 10 p - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 p^{2}$ .

$\frac{- (2 p^{3}) - (6 p^{2}) + 10 p - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 p^{3}) - (6 p^{2})$ .

$\frac{- (2 p^{3} + 6 p^{2}) + 10 p - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $10 p$ .

$\frac{- (2 p^{3} + 6 p^{2}) - (- 10 p) - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 p^{3} + 6 p^{2}) - (- 10 p)$ .

$\frac{- (2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p) - 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.6

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p) - 1 (3)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p + 3)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перепишем $- (2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p + 3)$ в виде $- 1 (2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p + 3)}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$

Этап 7.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 p^{3} + 6 p^{2} - 10 p + 3}{2 p (2 p - 3) (p + 4)}$