Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{r + 10} - \frac{4}{r - 6} - \frac{r}{r^{2} + 4 r - 60}$

Этап 1

Разложим $r^{2} + 4 r - 60$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 60$ , а сумма — $4$ .

$- 6, 10$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2}{r + 10} - \frac{4}{r - 6} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2}{r + 10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r - 6}{r - 6}$ .

$\frac{2}{r + 10} \cdot \frac{r - 6}{r - 6} - \frac{4}{r - 6} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{4}{r - 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{r + 10}{r + 10}$ .

$\frac{2}{r + 10} \cdot \frac{r - 6}{r - 6} - \frac{4}{r - 6} \cdot \frac{r + 10}{r + 10} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(r + 10) (r - 6)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2}{r + 10}$ на $\frac{r - 6}{r - 6}$ .

$\frac{2 (r - 6)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{4}{r - 6} \cdot \frac{r + 10}{r + 10} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4}{r - 6}$ на $\frac{r + 10}{r + 10}$ .

$\frac{2 (r - 6)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{4 (r + 10)}{(r - 6) (r + 10)} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(r - 6) (r + 10)$ .

$\frac{2 (r - 6)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{4 (r + 10)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (r - 6) - 4 (r + 10)}{(r + 10) (r - 6)} - \frac{r}{(r - 6) (r + 10)}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (r - 6) - 4 (r + 10) - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 r + 2 \cdot - 6 - 4 (r + 10) - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{2 r - 12 - 4 (r + 10) - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 r - 12 - 4 r - 4 \cdot 10 - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 6.4

Умножим $- 4$ на $10$ .

$\frac{2 r - 12 - 4 r - 40 - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $4 r$ из $2 r$ .

$\frac{- 2 r - 12 - 40 - r}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7.2

Вычтем $r$ из $- 2 r$ .

$\frac{- 3 r - 12 - 40}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7.3

Вычтем $40$ из $- 12$ .

$\frac{- 3 r - 52}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 r$ .

$\frac{- (3 r) - 52}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7.5

Перепишем $- 52$ в виде $- 1 (52)$ .

$\frac{- (3 r) - 1 (52)}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 r) - 1 (52)$ .

$\frac{- (3 r + 52)}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перепишем $- (3 r + 52)$ в виде $- 1 (3 r + 52)$ .

$\frac{- 1 (3 r + 52)}{(r + 10) (r - 6)}$

Этап 7.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 r + 52}{(r + 10) (r - 6)}$