Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x - 1}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{x}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + 2) (x + 1) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x - 1}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{x}}$ на $\frac{(x + 2) (x + 1) x}{(x + 2) (x + 1) x}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1) x}{(x + 2) (x + 1) x} \cdot \frac{\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x - 1}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{x}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{(x + 2) (x + 1) x (\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x - 1}{x + 1})}{(x + 2) (x + 1) x (\frac{x}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 2) (x + 1) x \frac{x - 2}{x + 2} + (x + 2) (x + 1) x \frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 2) (x + 1) x \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (x + 1) x$ .

$\frac{(x + 2) ((x + 1) x) \frac{x - 2}{x + 2} + (x + 2) (x + 1) x \frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 2) (x + 1) x \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) ((x + 1) x) \frac{x - 2}{x + 2} + (x + 2) (x + 1) x \frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 2) (x + 1) x \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) (x + 1) x \frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 2) (x + 1) x \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 2) (x + 1) x$ .

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 1) ((x + 2) x) \frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 2) (x + 1) x \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 1) ((x + 2) x) \frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 2) (x + 1) x \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) (x + 1) x \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 2) (x + 1) x$ .

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 1) ((x + 2) x) \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 1) ((x + 2) x) \frac{x}{x + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x \cdot x + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) (x^{1} x) + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) (x^{1} x^{1}) + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x^{1 + 1} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) x (- \frac{2 x - 3}{x})}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x - 3}{x}$ в числитель.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) x \frac{- (2 x - 3)}{x}}$

Этап 3.8.2

Вынесем множитель $x$ из $(x + 2) (x + 1) x$ .

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x^{2} + x ((x + 2) (x + 1)) \frac{- (2 x - 3)}{x}}$

Этап 3.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x^{2} + x ((x + 2) (x + 1)) \frac{- (2 x - 3)}{x}}$

Этап 3.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $(x + 1) x (x - 2) + (x + 2) x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $(x + 1) x (x - 2)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 2)) + (x + 2) x (x - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $(x + 2) x (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 2)) + x ((x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x ((x + 1) (x - 2)) + x ((x + 2) (x - 1))$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 2) + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.2

Развернем $(x + 1) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x (x - 2) + 1 (x - 2) + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2) + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x (x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2 + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2 + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x + x - 2 + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.3.2

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + (x + 2) (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.4

Развернем $(x + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x (x - 1) + 2 (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 (x - 1))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x^{2} + x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x^{2} - 1 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.5.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x^{2} - x + 2 x + 2 \cdot - 1)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.5.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x^{2} - x + 2 x - 2)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.5.2

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{x (x^{2} - x - 2 + x^{2} + x - 2)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.6

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - x - 2 + x - 2)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.7

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 0 - 2 - 2)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.8

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 2 - 2)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.9

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 4)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 (x^{2}) - 4)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.10.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 4.10.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{x (2 (x^{2} - 2))}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) x^{2} + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2}) + (x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (x + 1) (- (2 x - 3))$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2}) + (x + 2) ((x + 1) (- (2 x - 3)))}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 2) (x^{2}) + (x + 2) ((x + 1) (- (2 x - 3)))$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} + (x + 1) (- (2 x - 3)))}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} + (x + 1) (- (2 x) - - 3))}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} + (x + 1) (- 2 x - - 3))}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} + (x + 1) (- 2 x + 3))}$

Этап 5.5

Развернем $(x + 1) (- 2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} + x (- 2 x + 3) + 1 (- 2 x + 3))}$

Этап 5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 3 + 1 (- 2 x + 3))}$

Этап 5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 3 + 1 (- 2 x) + 1 \cdot 3)}$

Этап 5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- 2 x) + 1 \cdot 3)}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- 2 x) + 1 \cdot 3)}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- 2 x) + 1 \cdot 3)}$

Этап 5.6.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- 2 x) + 1 \cdot 3)}$

Этап 5.6.1.4

Умножим $- 2 x$ на $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x^{2} + 3 x - 2 x + 1 \cdot 3)}$

Этап 5.6.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x^{2} + 3 x - 2 x + 3)}$

Этап 5.6.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - 2 x^{2} + x + 3)}$

Этап 5.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2 (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- x^{2} + x + 3)}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- x^{2} + x + 3)}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- (x^{2}) + x + 3)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- (x^{2}) - 1 (- x) + 3)}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- (x^{2} - x) + 3)}$

Этап 6.5

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- (x^{2} - x) - 1 (- 3))}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- (x^{2} - x - 3))}$

Этап 6.7

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Перепишем $- (x^{2} - x - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - x - 3)$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (- 1 (x^{2} - x - 3))}$

Этап 6.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x (x^{2} - 2)}{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}$